Введение
На сегодняшний день в предметную область экзаменационных задач по математике условно входят три основных блока:
- задачи вариантов вступительных экзаменов в вузы (как письменных, так и устных);
- задачи факультетских и вузовских олимпиад (по сути и исторически отражающие специфику экзаменов на соответствующие факультеты в различных вузах, а также материалы олимпиад школьников, проводимых под эгидой Российского Совета олимпиад школьников);
- задачи вариантов Единого государственного экзамена по математике для выпускников общеобразовательных школ (плюс в меньшей степени задачи Государственной итоговой аттестации).
Естественно, что данное деление совершенно условно и даже многоступенчато внутри каждого названного уровня, однако оно никоим образом не умаляет достоинств и особенностей каждого из направлений математического развития, пусть даже в ряде точек они будут касающимися, взаимодополняющими и пересекающимися.
Материал данного учебного курса составлен на основе глубокого и тщательного анализа условий, схем, приемов, методов и технологий решения задач повышенной сложности из описанной предметной области и дает четкое представление о характере и сложности экзаменационных заданий, основных идеях и подходах к их решению.
Для рассматриваемых заданий приведены не только конечные решения как из традиционных, так и нечасто раскрываемых тем абитуриентской математики, но и показаны общие принципы рассуждений, направления применений обширного круга математических понятий и методов, расставлены акценты в рамках теоретических сведений элементарной математики, лежащих в основе применяемых действий. Это особенно актуально при исследовании именно нестандартных примеров и задач повышенной сложности, так как приводимые в официальных источниках решения подобных заданий нередко отличаются искусственностью, вызванной ограниченными рамками используемых программ по математике для выпускников и поступающих. Тогда как дополнительное включение относительно несложных понятий и методов, основанных на доказательной теоретической базе элементарной математики, зачастую позволяет дать естественное исчерпывающее решение трудной задачи, показать взаимосвязь различных приемов и последовательных схем исследования, повысить математическую культуру будущего специалиста.
Раздел 1. Эффективные методы решения стандартных задач по алгебре. (15 часов)
Тема 1.1. Задачи на целые, рациональные и иррациональные числа. Задачи на сравнение. (3 часа)
Целые числа. Делимость и остатки. Уравнения в целых числах. Смешанные задачи на целые числа. Рациональные и иррациональные числа. Сравнение чисел.
Тема 1.2. Эффективные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. (3 часа)
Эквивалентные преобразования при избавлении от радикалов, область определения и область значений, перебор вариантов и отбор решений в задачах с радикалами различных степеней, иррациональные уравнения и неравенства, поиск оптимального пути разрешения иррационального выражения.
Тема 1.3. Эффективные методы решения задач с модулями. Модифицированный метод интервалов (метод замены множителей, метод рационализации). (3 часа)
Основные приемы равносильных преобразований уравнений и неравенств с модулями и функциями различных типов, различные приемы раскрытия модулей, использование геометрического смысла модуля функции. Переход к системам и совокупностям, метод областей, графические иллюстрации и плоские множества.
Модифицированный метод интервалов в неравенствах различных типов, равносильные преобразования уравнений и неравенств, расщепление выражений относительно различных функций, сведение к системам и совокупностям, задачи с параметром и перебор вариантов в уравнениях и неравенствах комбинированных типов.
Тема 1.4. Комбинированные уравнения и неравенства. (3 часа)
Сведение к уравнениям и неравенствам стандартных типов, системы уравнений и неравенств, эквивалентные преобразования и отбор решений различными способами. Обобщение и систематизация ранее использовавшихся методов, приемов и способов решения различных типов задач.
Тема 1.5. Тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции. (3 часа)
Определения обратных тригонометрических функций, простейшие преобразования выражений, уравнений и неравенств, отбор решений, сведение к уравнениям и неравенствам стандартных типов. Решение тригонометрических неравенств с использованием тригонометрической окружности и целочисленного перебора вариантов, комбинированные задачи с применением комплекса различных методов.
Раздел 2. Методы решения нестандартных задач по алгебре. (22 часа)
Тема 2.1. Нестандартные текстовые задачи. (5 часов)
Различные типы текстовых задач: движение, работа, проценты, арифметическая и геометрическая прогрессии, оптимальный выбор и целочисленный перебор, минимальные и максимальные значения. Задачи на делимость чисел, системы и уравнения с целочисленными решениями, отбор корней по смыслу постановки задачи из неравенств и недоопределенных условий.
Тема 2.2. Исследование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметром. (4 часа)
Теорема о корнях квадратного трехчлена, расположение параболы на координатной оси, поиск специфических условий на корни, теорема Виета, применение вариантов графических иллюстраций, задачи с параметрами и различные способы их решения.
Тема 2.3. Использование различных свойств функций в задачах с параметрами. (5 часов)
Периодичность, монотонность, четность, непрерывность и ограниченность входящих функций, выделение полных квадратов и составление цепочки сравнений. Оценки на фиксированных множествах, замены переменных, разложение на множители, исследование вспомогательных выражений.
Тема 2.4. Применение графических иллюстраций в задачах с параметрами. (4 часа)
Плоские множества, эквивалентные преобразования к системам и совокупностям, координатная плоскость и тригонометрическая окружность, расщепление на элементарные функции. Перебор вариантов, замена на функции более простого типа, поиск площадей геометрических фигур.
Тема 2.5. Использование особенностей условия задач с параметром. (4 часа)
Эквивалентные преобразования, различные приемы разложения на множители, применение комплекса методов решения нестандартных задач, логические выводы. Использование симметрии входящих выражений, необходимые условия единственности решений, существование корней, получение следствий, переформулирование задачи на этапе решения. Стандартные неравенства и тождества, их следствия и приводящие к ним замены переменных, получение ограничений на параметры и переменные.
Раздел 3. Решение планиметрических задач повышенной сложности. (18 часов)
Тема 3.1. Треугольник: свойства и решение задач. (3 часа)
Замечательные точки и линии треугольника, связь различных элементов треугольника с окружностями, формулы решений для различных элементов треугольника, признаки равенства и подобия произвольных треугольников, основные теоремы и свойства произвольных треугольников.
Тема 3.2. Задачи на использование подобия. (3 часа)
Общие признаки подобия треугольников, эквивалентные переходы от произвольных плоских фигур к треугольникам, теоремы Чевы и Менелая, способы их использования и альтернативного применения.
Тема 3.3. Окружность: свойства и решение задач. (3 часа)
Связь различных элементов треугольников через общие окружности, равенства углов и пропорциональность отрезков в окружностях, связь различных элементов треугольников через общие окружности, вписанные и описанные окружности в треугольниках. Касательные и секущие к окружности, использование Декартовой системы координат и уравнений окружности, формулы площадей геометрических фигур с применением дуговых элементов, вписанные и описанные окружности, пропорциональность отрезков и хорд, площади сегментов и секторов.
Тема 3.4. Леммы о площадях и их использование для решения задач. (3 часа)
Различные формулы для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции и других геометрических фигур, разбиение на треугольники, суммирование площадей, общее определение площади фигуры, теоремы о площадях подобных фигур.
Тема 3.5. Параллелограммы, трапеции и другие четырёхугольники. (3 часа)
Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, их признаки и специфические свойства, комплексные задачи на применение различных теорем и приемов исследования произвольных параллелограммов.
Отдельные теоремы про трапеции различных типов, замечательные линии и числовые характеристики в трапеции, связь стандартных алгебраических выражений и их геометрических интерпретаций в трапеции.
Произвольное задание плоской фигуры, теоремы о вписанных и описанных окружностях, о сумме внутренних и внешних углов.
Тема 3.6. Задачи на доказательство. (3 часа)
Задачи на доказательство различных соотношений для элементов треугольника, многоугольника и окружности. Задачи на площади.
Раздел 4. Решение задач по стереометрии. (17 часов)
Тема 4.1. Прямая и наклонная призма. (3 часа)
Многогранник, n-угольная призма. Прямая призма, правильная призма. Параллелепипед. Объем призмы и параллелепипеда. Наклонная призма. Объем наклонной призмы. Площадь боковой поверхности призмы.
Тема 4.2. Пирамиды. (3 часа)
n-угольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Объем произвольной пирамиды и произвольной усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и правильной усеченной пирамиды. Тетраэдр. Произвольные пирамиды.
Тема 4.3. Цилиндр. Конус. Шар. (4 часа)
Цилиндр. Цилиндр, вписанный в призму и описанный около призмы. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
Конус. Конус, вписанный в пирамиду и описанный около пирамиды. Площадь боковой поверхности и объем конуса.
Шар, сфера. Шар, вписанный в многогранник и описанный около многогранника. Площадь поверхности сферы, объем шара. Части шара.
Тема 4.4. Координаты и векторы. (3 часа)
Прямоугольная Декартова система координат. Расстояние между двумя точками в пространстве. Вектор, координаты вектора. Сумма и скалярное произведение двух векторов. Уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения плоскости.
Тема 4.5. Комбинации тел. (4 часа)
Способы взаимного расположения геометрических тел в пространстве с учетом наличия общих элементов, теоремы и признаки особых случаев симметрии и наложения, формулы решений для произвольно заданных элементов пространственных фигур.
